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流行りに便乗して、エアロシートポスト27.2 シマノ600アルテグラ">やAIの勉強を始めてみました。なかでも、強化学習は、伝統的なAIの世界(プランニング等々)と盆栽鉢 写真集「盆栽芸術 地 - 小林國雄の世界」中国古盆器など銘品多数掲載">の融合のようで面白くいろいろと探求のしがいがありそうです。

とりかかりとしてこの本を読み始めています。

2008年の本なのでDQNなどはでていませんが、歴史的背景(「最適制御理論」最適化の観点から制御というものを考える、等々)から、基本的な技法の定式や実装イメージ(擬似コード的なものがある)まで網羅的に丁寧に記述されていて、大変勉強になります。

ただ読んでいるだけだとあまりわかった気になれないので、ところどころで具体的に値を計算してみたり、トイプロブレムを解いてみたりしたいと思います。

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強化学習で取り組む問題は、有限NIKE エアリフト プリスクール&キッズ 23.5 新品">として定式化されます。

  • Lサイズ bigagnes ビッグアグネスWhetstone Shelter : とりうる状態の集合 Lサイズ bigagnes ビッグアグネスWhetstone Shelter
  •  \mathcal{A} : とりうる行動の集合  \{a^{(0)}, a^{(1)}, \cdots, \mathcal{A}^{|A|}\}
  •  P_{T}(s_{t+1}|s_{t},a_{t}) \in [0, 1]:状態 s_{t}のときに、行動 a_{t}を取った場合に、状態s_{t+1}に遷移する確率(状態遷移関数)
  •  \pi(a_{t}|s_{t})\in [0,1]:エージェントがs_{t}の状態のときに、行動 a_{t}を取る確率(政策関数。方策関数という言い方もする。)
  •  R(s_{t},a_{t},s_{t+1})\in \mathbb{R}:エージェントが状態s_{t}のときに、行動 a_{t}を取り、状態 s_{t+1}に遷移した場合に得られる報酬値を出力する関数(報酬関数)
  •  \gamma \in (0,1]:割引率

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学習者、いわゆるエージェントが、ある状態のときにある行動を取ることで、別の状態に遷移します。この状態遷移は「エンビロン Kaoさま専用">を解くために、「状態価値関数」あるいは「状態・行動価値関数」を利用するのが筋です。

状態価値関数
政策  \piのもとでの状態 sの価値を出力する関数を V^{\pi}とする:  V^{\pi}(s)\equiv \mathbf{E}_{\pi, P_{t}}[\sum_{t=0}^{\infty} \gamma^{t}R(s_{t},a_{t},s_{t+1})|s_{0}=s]
状態・行動価値関数
政策  \piのもとでの状態と行動の対  (s, a)の価値を出力する関数を Q^{\pi}とする:  Q^{\pi}(s, a)\equiv \mathbf{E}_{\pi, P_{t}}[\sum_{t=0}^{\infty} \gamma^{t}R(s_{t},a_{t},s_{t+1})|s_{0}=s, a_{0} = a]

状態価値関数はある状態を初期値とした場合の、将来の報酬の総和の期待値を算出します。状態・行動価値関数のほうはさらに行動も加えます。

状態価値関数と状態・行動価値関数には以下のような関係があります。

 V^{\pi}(s) =  \mathbf{E}_{\pi(a|s)}[Q^{\pi}(s,a)]
 Q^{\pi}(s, a) =  \mathbf{E}_{P_{t}(s'|s,a)}[V^{\pi}(s')]

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「強くなるロボティック・ゲームプレイヤーの作り方」4.2に、簡単な例題が載っております。

f:id:a-i-to:20161126175213p:plain

図は4状態チェーンウォークと呼ばれるマルコフ決定問題の、状態遷移を表しています。状態空間は \mathcal{S} = \{ s^{(1)}, s^{(2)}, s^{(3)}, s^{(4)} \} 、行動空間は \mathcal{A} = \{L, R\}

政策関数πを下記に、割引率γを0.9とした場合のQは下記のようになるとあります。

 \displaystyle
\pi(a|s) = \begin{cases}
  0.5 \;\; if\: a = L\\
  0.5 \;\; if\: a = R
\end{cases}

s(1) s(2) s(3) s(4)
L 1.46 1.46 1.82 2.63
R 1.71 2.42 3.72 3.72

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本では、結果だけが載っていますので、これを一から算出してみたいと思います。

また状態・行動価値関数は、期待値の計算=線形の処理なので

最初のステップ(0ステップ目)での各状態・行動の報酬期待値 + 1ステップ目以降の状態の報酬期待値

と分解できます。これをナイトアイボーテII StreeTrend 二重メイク 3ml">に起こしたものが下記です。

coding: UTF-8                                                                  
"""                                                                             
「強くなるロボティックプレイヤーの作り方」4章のチェーンウォーク問題の           
Q関数の値を求める                                                               
"""
import numpy as np
### パラメータ                                                                  
n_iter = 100
discount = 0.9
# s(n=0)からLを選んでs(t=1)に遷移する確率 Pt(s(t=1)|s(t=0), L)                  
s0L = np.array([[0.9, 0.1, 0, 0],
                [0.9, 0.1, 0, 0],
                [0, 0.9, 0.1, 0],
                [0, 0, 0.9, 0.1]])
# s(t=0)からRを選んでs(t=1)に遷移する確率 pt(s(t=1)|s(t=0), R)                  
s0R = np.array([[0.1, 0.9, 0, 0],
                [0, 0.1, 0.9, 0],
                [0, 0, 0.1, 0.9],
                [0, 0, 0.1, 0.9]])
### 1. t=0の報酬期待値を求める                                                  
# t=0の期待報酬値は、ノード4への遷移確率そのものになる                          
s0L_value = s0L[:,3]
s0R_value = s0R[:,3]
### 2. t=1以降の報酬期待値を求める                                              
# 状態遷移行列                                                                  
A = np.array([[0.5, 0.5, 0, 0],
              [0.45, 0.1, 0.45, 0],
              [0, 0.45, 0.1, 0.45],
              [0, 0, 0.5, 0.5]])
# Aのべき乗を求めるために固有値と固有ベクトルを求める                           
la, v = np.linalg.eig(A)
# laでから対角行列を作る                                                        
D = np.diag(la)
# vの逆行列を求める         
inv_v = np.linalg.inv(v)
# iステップ後の期待得点を算出。それを足していく                                 
values = np.zeros(4)
for i in range(1, n_iter):
   expected = np.dot(np.dot(v, D ** i), inv_v)[:,3] * (discount ** i)
   values += expected
# t=0からt=1への遷移確率を掛けて、t=1以降の期待値を出す                         
s1L_values = np.dot(s0L, values)
s1R_values = np.dot(s0R, values)
### 3. 最終的な値を表示                                                         
print(s0L_value + s1L_values)
print(s0R_value + s1R_values)

実行結果は以下のようになります。

[ 1.46032168  1.46032168  1.82091047  2.63112231]
[ 1.71430161  2.41980141  3.72279858  3.72279858]

期待通りの値が計算できたようですね。

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CGなどで、自然な模様をランダムに生成するのに使われる切れ味抜け抜群カットシザーセニングシザー美容師サロン仕様トリマーOK理容師はさみ">。これによって、雲や煙、炎などのテクスチャを手軽にそれっぽく作れる。

ある入力値に対応してランダムっぽく値を返す関数なのだが、完全にランダムなのでなく滑らかさを持つ。

Ken Perlinさんという方が発明したもので、ご本人のサイトに【新品電池交換済】カルティエ マストヴァンドーム">の説明とセール♪六通柄袋帯 オリエント華文 四重箔 絵天井文 着物">が載っている。

また、別の人が上記と同じ説明をより読みやすくした説明ページを作ってくれている。

上記を参考にした定義域が1次元のバージョンの実装が下記。

PlayStation®Vita(PCH-2000シリーズ) Wi-Fiモデル…">

下記で実際に動いているものを確認できる。

Perlinさんは2002年に改訂版の実装を公開しているのだが、上記はその前のオリジナルに基づくもの。

テクスチャをつくるには、色々と17ツインパワーXD4000XG">がある。最もシンプルなものでスケールの違うものを足していくというものがある。以下がその例。

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JR西日本 株主優待割引券 +冊子">

稜線っぽいかな。

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